1 Einführung

Dieses Tutorium demonstriert die wesentlichen praktischen Schritte der Hauptkomponentenanalyse eines multivariaten, metrisch skalierten Datenssatzes, und einer aus dieser gegebenenfalls abgeleiteten Dimensionsreduktion dieses Datensatzes. Das Tutorium basiert auf einer transparenten Darstellung aller relevanten Berechnungen mitfilfe eines R-Skripts. Die Grundüberlegungen zur Hauptkomponentenanalyse und der Dimensionsreduktion wurden im Wesentlichen vonPearson (1901), Hotelling (1933) und Kaiser (1960) angestellt; siehe auchHatzinger et al (2014), Hair et al (2010) oder Jolliffe (2002).

Die nachfolgenden Ausführungen gliedern sich in drei Teile. Zunächst wird ein Beispieldatensatz geladen und mit Standardmethoden der Beschreibenden Statistik quantitativ charakterisiert und visualisiert (Abschnitte 2 bis 5). Dann wird die in der Linearen Algebra angesiedelte Methodik einer Hauptkomponentenanalyse bereitgestellt. Es handelt sich hierbei um die Eigenwertanalyse symmetrischer quadratischer Matrizen und deren Diagonalisierung durch bestimmte aus den Eigenvektoren konstruierten Rotationstransformationen (Abschnitte 6 bis 10). Schließlich wird das auf der Eigenwertanalyse aufbauende Verfahren der Dimensionsreduktion für einen multivariaten, metrisch skalierten Datenssatz dargestellt (Abschnitt 11).

Als konkretes Beispiel wird in diesem Tutorium ein trivariater Datensatz herangezogen, der Messwerte zu den drei metrisch skalierten Variablen Körpergröße [cm], Masse [kg] und Alter [yr] für eine Stichprobe von 187 volljährigen Frauen umfasst.

Die nachfolgenden Ergebnisse werden erstellt mit R Version 4.0.2.

2 Laden der benötigten R-Pakete

library(tidyverse)

## -- Attaching packages --------------------------------------- tidyverse 1.3.0 --

## v ggplot2 3.3.2     v purrr   0.3.4
## v tibble  3.0.3     v dplyr   1.0.0
## v tidyr   1.1.0     v stringr 1.4.0
## v readr   1.3.1     v forcats 0.5.0

## -- Conflicts ------------------------------------------ tidyverse_conflicts() --
## x dplyr::filter() masks stats::filter()
## x dplyr::lag()    masks stats::lag()

library(zinsszenarien)
library(plotly)

## 
## Attaching package: 'plotly'

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     last_plot

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     filter

## The following object is masked from 'package:graphics':
## 
##     layout

library(psych)

## 
## Attaching package: 'psych'

## The following objects are masked from 'package:ggplot2':
## 
##     %+%, alpha

library(REdaS)

## Loading required package: grid

library(GGally)

## Warning: package 'GGally' was built under R version 4.0.3

## Registered S3 method overwritten by 'GGally':
##   method from   
##   +.gg   ggplot2

3 Laden des trivariaten Beispieldatensatzes (`X`-Matrix)

load("testData.RData")
str(object = testData)

## 'data.frame':    544 obs. of  4 variables:
##  $ height: num  152 140 137 157 145 ...
##  $ weight: num  47.8 36.5 31.9 53 41.3 ...
##  $ age   : num  63 63 65 41 51 35 32 27 19 54 ...
##  $ male  : int  1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 ...

Ausfiltern eines trivariaten Teildatensatzes: Körpergröße [cm], Masse [kg] und Alter [yr] von Frauen ab 18 Jahren:

X <- testData %>% filter(.data = ., age >= 18 & male == 0)
colnames(X) <- c("height [cm]", "mass [kg]", "age [yr]", "male")
str(object = X)

## 'data.frame':    187 obs. of  4 variables:
##  $ height [cm]: num  140 137 145 149 148 ...
##  $ mass [kg]  : num  36.5 31.9 41.3 38.2 34.9 ...
##  $ age [yr]   : num  63 65 51 32 19 47 73 20 65.3 31 ...
##  $ male       : int  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...

Die Datenmatrix X ist die Rohdatenmatrix dieser Betrachtung.

3.1 Visualisieren der Daten in `X` per 3D-Streudiagramm

Der trivariate Datensatz in X wird zunächst über ein 3D-Streudiagramm visualisiert. Dies wird ermöglicht durch die Funktion plot_ly() aus dem Paket plotly. (Zu beachten ist hier die Tatsache einer nicht der mathematischen Konvention entsprechenden Orientierung der Maßskala entlang der “x”-Achse; das resultierende Koordinatensystem ist nicht rechtshändisch orientiert.)

fig1 <- plot_ly(data = as.data.frame(X), type = "scatter3d", x = X[, 1], y = X[, 
    2], z = X[, 3], mode = "markers", size = 1) %>% layout(title = "Rohdaten in X (Originalmaßskalen)", 
    scene = list(xaxis = list(title = "Körpergröße [cm]"), yaxis = list(title = "Masse [kg]"), 
        zaxis = list(title = "Alter [yr]")))
fig1

## Warning: `arrange_()` is deprecated as of dplyr 0.7.0.
## Please use `arrange()` instead.
## See vignette('programming') for more help
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_warnings()` to see where this warning was generated.

3.2 Visualisieren der Daten in `X` per Streudiagrammmatrix

Der trivariate Datensatz in X wird mithilfe einer Streudiagrammmatrix visualisiert. Hierfür wird die Funktion ggpairs() aus dem Paket GGally verwendet.

ggpairs(data = X[, 1:3])

3.3 Beschreibende Statistik und Ausreißerbetrachtung für die Daten in `X`

Mittelwert und Standardabweichung:

apply(X = X[, 1:3], MARGIN = 2, FUN = mean)

## height [cm]   mass [kg]    age [yr] 
##   149.51352    41.81419    40.71230

apply(X = X[, 1:3], MARGIN = 2, FUN = sd)

## height [cm]   mass [kg]    age [yr] 
##    5.084577    5.387917   16.219897

Standardisierte Schiefe- und Wölbungsmaße; vgl. Joanes und Gill (1998) und van Elst (2019):

zinsszenarien:::stand.schiefe(X[, 1:3])

## height [cm]   mass [kg]    age [yr] 
##   0.0205191   1.7939789   3.3003240

zinsszenarien:::stand.woelbung(X[, 1:3])

## height [cm]   mass [kg]    age [yr] 
##  -0.6688236  -0.9719034  -1.3598265

Sofern sowohl das standardisierte Schiefe- als auch das standardisierte Wölbungsmaß einen Wert vom Betrag kleiner 1,96 annehmen, kann von näherungsweise normalverteilten univariaten Daten ausgegangen werden. Wie die erhaltenen Ergebnisse zeigen, trifft das im betrachteten trivariaten Beispieldatensatz für die Variablen Körpergröße [cm] und Masse [kg] zu, nicht aber für die Variable Alter [yr].

Anzahlen von Ausreißern, Extremwerten und 6-sigma-Ereignissen; vgl. Toutenburg (2004):

zinsszenarien:::ausreisser(X[, 1:3])

## height [cm]   mass [kg]    age [yr] 
##           0           1           0

zinsszenarien:::extremwerte(X[, 1:3])

## height [cm]   mass [kg]    age [yr] 
##           0           0           0

zinsszenarien:::sechs_sigma_ereignisse(X[, 1:3])

## height [cm]   mass [kg]    age [yr] 
##           0           0           0

4 Standardisieren des trivariaten Datensatzes (`Z`-Matrix)

Transformieren der Rohdaten auf eine gemeinsame dimensionslose Maßskala, auf welcher Messwerte als Abweichungen vom Mittelwert in Vielfachen der Standardabweichung kodiert werden.

Z <- scale(x = X[, c("height [cm]", "mass [kg]", "age [yr]")], center = TRUE, scale = TRUE)
colnames(Z) <- c("height_std [1]", "mass_std [1]", "age_std [1]")
dim(Z)

## [1] 187   3

head(x = Z)

##      height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## [1,]     -1.9300562   -0.9889505   1.3740963
## [2,]     -2.5544936   -1.8466045   1.4974016
## [3,]     -0.8060688   -0.0997265   0.6342642
## [4,]     -0.0567439   -0.6627263  -0.5371365
## [5,]     -0.3065189   -1.2888663  -1.3386213
## [6,]      0.9423560    1.4998244   0.3876535

Die Datenmatrix Z der standardisierten Messwerte (“Z-Werte”) bildet die Grundlage der nachfolgenden Analyseschritte.

4.1 Visualisieren der Daten in `Z` per 3D-Streudiagramm

fig2 <- plot_ly(data = as.data.frame(Z), type = "scatter3d", x = Z[, 1], y = Z[, 
    2], z = Z[, 3], mode = "markers", size = 1) %>% layout(title = "Standardisierte Daten in Z (Einheitsmaßskala)", 
    scene = list(xaxis = list(title = "Körpergröße std [1]"), yaxis = list(title = "Masse std [1]"), 
        zaxis = list(title = "Alter std [1]")))
fig2

4.2 Visualisieren der Daten in `Z` per Streudiagrammmatrix

ggpairs(data = as.data.frame(Z))

4.3 Beschreibende Statistik und Ausreißerbetrachtung für die Daten in `Z`

Mittelwert und Standardabweichung:

apply(X = Z, MARGIN = 2, FUN = mean) %>% round(x = ., digits = 4)

## height_std [1]   mass_std [1]    age_std [1] 
##              0              0              0

apply(X = Z, MARGIN = 2, FUN = sd)

## height_std [1]   mass_std [1]    age_std [1] 
##              1              1              1

Standardisierte Schiefe- und Wölbungsmaße; vgl. Joanes und Gill (1998) und van Elst (2019):

zinsszenarien:::stand.schiefe(Z)

## height_std [1]   mass_std [1]    age_std [1] 
##      0.0205191      1.7939789      3.3003240

zinsszenarien:::stand.woelbung(Z)

## height_std [1]   mass_std [1]    age_std [1] 
##     -0.6688236     -0.9719034     -1.3598265

5 Untersuchen der Eignung des trivariaten Datensatzes in `Z` für eine Hauptkomponentenanalyse

Die Eignung des trivariaten Datensatzes für eine Hauptkomponentenanalyse wird mit Bartletts (1951) Test auf Sphärizität sowie mit den KMO- und MSA-Maßen nach Kaiser, Meyer und Olkin (KMO) untersucht; vgl. Kaiser (1970), Guttman (1953) und Hatzinger et al (2014). Hierfür werden die Funktionen bart_spher() und KMO() aus dem Paket REdaS verwendet.

Bartletts (1951) frequentistischer Nullhypothesentest unterzieht die Grundannahme der Nichtsphärizität der Daten in Z einer empirischen Überprüfung. Im vorliegenden Fall liefert dies das folgende Resultat:

bart_spher(x = Z)

##  Bartlett's Test of Sphericity
## 
## Call: bart_spher(x = Z)
## 
##      X2 = 100.12
##      df = 3
## p-value < 2.22e-16

Entsprechend dem erhaltenen p-Wert kann die Nullhypothese zu einem Signifikanzniveau von 0,01 verworfen werden.

Die KMO- und MSA-Maße nehmen folgende Werte an:

kmoZ <- KMOS(x = Z)
print(x = kmoZ, stats = "KMO")

## 
## Kaiser-Meyer-Olkin Statistic
## Call: KMOS(x = Z)
## 
## KMO-Criterion: 0.5478232

print(x = kmoZ, stats = "MSA", sort = TRUE, digits = 3, show = 1:3)

## 
## Kaiser-Meyer-Olkin Statistics
## 
## Call: KMOS(x = Z)
## 
## Measures of Sampling Adequacy (MSA):
##   mass_std [1] height_std [1]    age_std [1] 
##          0.531          0.533          0.775

Empfohlen werden für die KMO- und MSA-Maße Werte zwischen 0,8 und 1,0; vgl. Hatzinger et al (2014) und Hair et al (2010). In dieser Hinsicht stellt der hier betrachtete trivariate Datensatz in Z ein Negativbeispiel bzgl. der Eignung für eine Hauptkomponentenanalyse dar.

6 Berechnen der Korrelationsmatrix (`R`-Matrix) und ihrer Inversen

Die Korrelationsmatrix R des betrachteten trivariaten Datensatzes in X ist gegeben durch:

Rmat <- (1 / (nrow(Z) - 1)) * t(Z) %*% Z
Rmat

##                height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## height_std [1]      1.0000000    0.6202596  -0.1863417
## mass_std [1]        0.6202596    1.0000000  -0.2308225
## age_std [1]        -0.1863417   -0.2308225   1.0000000

Die Korrelationsmatrix R besitzt eine von Null verschiedene Determinante und ist somit regulär. Folglich existiert eine Inverse, die hier der Vollständigkeit halber angegeben wird.

det(x = Rmat)

## [1] 0.5806328

RmatInv <- solve(Rmat)
RmatInv

##                height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## height_std [1]     1.63049873   -0.9941702  0.07435314
## mass_std [1]      -0.99417018    1.6624566  0.19847692
## age_std [1]        0.07435314    0.1984769  1.05966802

Die Spur der Korrelationsmatrix R beträgt

sum(diag(x = Rmat))

## [1] 3

Sie entspricht somit genau der Anzahl von Variablen im betrachteten trivariaten Datensatz in X.

7 Eigenwerte und Eigenvektoren: Eigenorthonormalbasis der Korrelationsmatrix

Die drei Eigenwerte der Korrelationsmatrix R sind

evAnaCor <- eigen(x = Rmat, symmetric = "TRUE")
evAnaCor$values

## [1] 1.7382412 0.8838105 0.3779482

sum(evAnaCor$values)

## [1] 3

und summieren sich genau zu der Anzahl von Variablen im betrachteten trivariaten Datensatzes in X. Die drei paarweise orthogonalen, normierten Eigenvektoren der Korrelationsmatrix R sind

evAnaCor$vectors

##            [,1]      [,2]        [,3]
## [1,] -0.6504363 0.3033698  0.69634715
## [2,] -0.6625952 0.2215906 -0.71544756
## [3,]  0.3713492 0.9267494 -0.05688085

Diese werden auch die Hauptkomponenten der Korrelationsmatrix R genannt. Sie spannen die Eigenorthonormalbasis der Korrelationsmatrix R im Euklidischen Raum R³ auf; vgl. Bronstein et al (2005).

Mit Bezug auf Kaisers (1960) Eigenwertkriterium wird festgestellt, dass nur einer der drei Eigenwerte der Korrelationsmatrix R größer 1 ist, dementsprechend also nur eine dominante Hauptkomponente der Korrelationsmatrix R vorliegt.

Der Erklärungswert der einzelnen Eigenwerte (Hauptkomponenten) an der Gesamtvarianz des betrachteten standardisierten trivariaten Datensatzes in Z beläuft sich auf

round(evAnaCor$values / sum(evAnaCor$values) , 4)

## [1] 0.5794 0.2946 0.1260

also 57,94 %, 29,46 % und 12,60 %, und kumuliert auf

round(cumsum(evAnaCor$values) / sum(evAnaCor$values) , 4)

## [1] 0.5794 0.8740 1.0000

8 Rotationsmatrix (`V`-Matrix), Eigenwertdiagonalmatrix (`Lambda`-Matrix) und inverse Eigenwertdiagonalmatrix

Aus den drei Eigenvektoren von R wird eine orthogonale Rotationsmatrix v bebildet, mithilfe welcher Transformationen in die rechtshändisch orientierte Eigenorthonormalbasis der Korrelationsmatrix R vorgenommen werden können. Die Determinante der Rotationsmatrix v hat den Wert 1

rotMatCor <- (-1) * evAnaCor$vectors  # scaling by a factor of (-1)
rotMatCor

##            [,1]       [,2]        [,3]
## [1,]  0.6504363 -0.3033698 -0.69634715
## [2,]  0.6625952 -0.2215906  0.71544756
## [3,] -0.3713492 -0.9267494  0.05688085

det(x = rotMatCor)

## [1] 1

Transformationen mit der Rotationsmatrix v sind folglich Volumen erhaltend.

Per Konstruktion genügt die Rotationsmatrix v den beiden Orthonormalitätstests:

round(t(rotMatCor) %*% rotMatCor, 4)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    0
## [2,]    0    1    0
## [3,]    0    0    1

round(rotMatCor %*% t(rotMatCor), 4)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    0
## [2,]    0    1    0
## [3,]    0    0    1

Durch Diagonalisieren der Korrelationsmatrix R über Transformation mit der Rotationsmatrix V gelangt man zur Eigenwertdiagonalmatrix (Lambda-Matrix) gemäß

LambdaCor <- t(rotMatCor) %*% Rmat %*% rotMatCor
round(LambdaCor, 7)

##          [,1]      [,2]      [,3]
## [1,] 1.738241 0.0000000 0.0000000
## [2,] 0.000000 0.8838105 0.0000000
## [3,] 0.000000 0.0000000 0.3779482

Die Eigenwertdiagonalmatrix Lambda ist nichts anderes als die Darstellung der Korrelationsmatrix R bzgl. ihrer Eigenorthonormalbasis.

Konsistenztest für die Eigenwertdiagonalmatrix Lambda

round(LambdaCor - diag(x = evAnaCor$values), 4)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    0    0    0
## [2,]    0    0    0
## [3,]    0    0    0

Die Inverse der Eigenwertdiagonalmatrix Lambda wird durch

LambdaCorInv <- diag(x = (1 / evAnaCor$values))
LambdaCorInv

##           [,1]     [,2]     [,3]
## [1,] 0.5752941 0.000000 0.000000
## [2,] 0.0000000 1.131464 0.000000
## [3,] 0.0000000 0.000000 2.645865

berechnet.

Die drei Eigenwerte der Korrelationsmatrix R entsprechen den Varianzen der Daten in Z entlang der durch die Eigenorthonormalbasis der Korrelationsmatrix R vorgegebenen drei Richtungen im Euklidischen Raum R³. Die nächste Betrachtung verdeutlicht diesen Sachverhalt. Transformation der Daten in Z in die Eigenorthonormalbasis der Korrelationsmatrix R

Zrot <- Z %*% rotMatCor

und Visualisierung der resultierenden Daten in Zrot per 3D-Streudiagramm führen zu

fig3 <- plot_ly(data = as.data.frame(Zrot), type = "scatter3d", x = Zrot[, 1], y = Zrot[, 
    2], z = Zrot[, 3], mode = "markers", size = 1) %>% layout(title = "Standardisierte Daten bzgl. Eigenorthonormalbasis von R", 
    scene = list(xaxis = list(title = "Zrot1 [1]"), yaxis = list(title = "Zrot2 [1]"), 
        zaxis = list(title = "Zrot3 [1]")))
fig3

Die daran anschließende Berechnung der Varianzen der Daten in Zrot liefert

apply(X = Zrot, MARGIN = 2, FUN = var)

## [1] 1.7382412 0.8838105 0.3779482

also das behauptete Ergebnis. Beachte: Die Daten in Zrot sind unkorrelliert

round(cor(x = Zrot), 4)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    0
## [2,]    0    1    0
## [3,]    0    0    1

9 Hauptkomponentenladungsmatrix (`A`-Matrix)

Die Hauptkomponentenladungsmatrix A liefert die Antwort auf die Frage: Wie stark korrelieren die drei Ausgangsvariablen Körpergröße, Masse und Alter mit den hier bestimmten drei Hauptkomponenten (Eigenvektoren von R)?

AmatCor <- rotMatCor %*% LambdaCor ^ (1 / 2)
rownames(AmatCor) <- c("height", "mass", "age")
colnames(AmatCor) <- c("PC1", "PC2", "PC3")
AmatCor

##               PC1        PC2         PC3
## height  0.8575507 -0.2852016 -0.42809679
## mass    0.8735813 -0.2083199  0.43983925
## age    -0.4895956 -0.8712482  0.03496889

Konsistenztests für die Hauptkomponentenladungsmatrix A:

Die Korrelationsmatrix R lässt sich mithilfe der Hauptkomponentenladungsmatrix A faktorisieren:

round(Rmat - AmatCor %*% t(AmatCor), 4)

##                height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## height_std [1]              0            0           0
## mass_std [1]                0            0           0
## age_std [1]                 0            0           0

Die Eigenwertdiagonalmatrix Lambda lässt sich mithilfe der Hauptkomponentenladungsmatrix A faktorisieren:

round(LambdaCor - t(AmatCor) %*% AmatCor, 4)

##     PC1 PC2 PC3
## PC1   0   0   0
## PC2   0   0   0
## PC3   0   0   0

10 Standardisierter Datensatz in der Eigenorthonormalbasis der Korrelationsmatrix (`F`-Matrix)

Es folgt die Transformation des standardisierten trivariaten Datensatzes in Zin die Eigenorthonormalbasis der Korrelationsmatrix R durch Kombination einer durch die Rotationsmatrix V beschriebenen Drehung des Ausgangskoordinatensystems und einer anschließenden Reskalierung der Koordinatenachsen mithilfe der Eigenwertdiagonalmatrix Lambda. Diese Transformation definiert die F-Matrix

FmatCor <- Z %*% AmatCor %*% LambdaCorInv
colnames(FmatCor) <- c("PC1_std [1]", "PC2_std [1]", "PC3_std [1]")
dim(FmatCor)

## [1] 187   3

head(x = FmatCor)

##      PC1_std [1] PC2_std [1] PC3_std [1]
## [1,]  -1.8362245  -0.4986426   1.1623873
## [2,]  -2.6100451  -0.2165376   0.8829883
## [3,]  -0.6264361  -0.3416280   0.8556499
## [4,]  -0.2097674   0.7040217  -0.7566757
## [5,]  -0.4219218   1.7223008  -1.2765884
## [6,]   1.1094795  -1.0397559   0.7139017

die standardisierte und per Konstruktion paarweise unkorrelierte, so genannte “F-Werte” enthält.

10.1 Konsistenztests für die `F`-Matrix:

Die “F-Werte” sind standardisiert und paarweise unkorreliert:

proxy4 <- (1 / (nrow(FmatCor) - 1)) * t(FmatCor) %*% FmatCor
round(proxy4 - diag(rep(1, nrow(proxy4))), 4)

##             PC1_std [1] PC2_std [1] PC3_std [1]
## PC1_std [1]           0           0           0
## PC2_std [1]           0           0           0
## PC3_std [1]           0           0           0

Die A-Matrix beinhaltet die Korrelationswerte zwischen den “Z-Werten” und den “F-Werten”:

round((1 / (nrow(Z) - 1)) * t(Z) %*% FmatCor - AmatCor, 4)

##                PC1_std [1] PC2_std [1] PC3_std [1]
## height_std [1]           0           0           0
## mass_std [1]             0           0           0
## age_std [1]              0           0           0

Die “Z-Werte” können als Linearkombinationen der “F-Werten” aufgefasst werden:

head(x = round(FmatCor %*% t(AmatCor) - Z, 4))

##      height mass age
## [1,]      0    0   0
## [2,]      0    0   0
## [3,]      0    0   0
## [4,]      0    0   0
## [5,]      0    0   0
## [6,]      0    0   0

tail(x = round(FmatCor %*% t(AmatCor) - Z, 4))

##        height mass age
## [182,]      0    0   0
## [183,]      0    0   0
## [184,]      0    0   0
## [185,]      0    0   0
## [186,]      0    0   0
## [187,]      0    0   0

10.2 Visualisieren der Daten in `F` per 3D-Streudiagramm

fig4 <- plot_ly(data = as.data.frame(FmatCor), type = "scatter3d", x = FmatCor[, 
    1], y = FmatCor[, 2], z = FmatCor[, 3], mode = "markers", size = 1) %>% layout(title = "Standardisierte Daten in F (Einheitsmaßskala)", 
    scene = list(xaxis = list(title = "HKA1 std [1]"), yaxis = list(title = "HKA2 std [1]"), 
        zaxis = list(title = "HKA3 std [1]")))
fig4

10.3 Visualisieren der Daten in `F` per Streudiagrammmatrix

ggpairs(data = as.data.frame(FmatCor))

11 Dimensionsreduktion: Extraktion der einzigen dominanten Hauptkomponente

11.1 Qualitatives Extraktionskriterium

Das R-Paket psych stellt die Funktion VSS.scree() zur Erstellung eines Gerölldiagramms nach Cattell (1966) bereit.

VSS.scree(rx = Z)

Zu extrahieren ist jene Anzahl von Hauptkomponenten, deren Eigenwerte im Gerölldiagramm links des “Ellbogens” zu liegen kommen; hier also einer. Dieses Resultat ist im vorliegeneden Fall konsistent mit Kaisers Eigenwertkriterium, welches die Extraktion aller Hauptkomponenten der Korrelationsmatrix R mit einem Eigenwert größer 1 empfiehlt.

Beispielhaft wird nun eine Dimensionsreduktion für den gegebenen trivariaten Datensatz in X auf Basis der Extraktion der einzigen dominanten Hauptkomponente der Korrelationsmatrix R demonstriert.

11.2 Dimensionsreduzierte Matrizen

Dimensionsreduzierte Rotationsmatrix

rotMatCorRed <- as.matrix((-1) * evAnaCor$vectors[, 1])
rotMatCorRed

##            [,1]
## [1,]  0.6504363
## [2,]  0.6625952
## [3,] -0.3713492

Dimensionsreduzierte Eigenwertdiagonalmatrix

LambdaCorRed <- t(rotMatCorRed) %*% Rmat %*% rotMatCorRed
LambdaCorRed

##          [,1]
## [1,] 1.738241

Inverse der dimensionsreduzierten Eigenwertdiagonalmatrix

LambdaCorRedInv <- solve(LambdaCorRed)
LambdaCorRedInv

##           [,1]
## [1,] 0.5752941

Dimensionsreduzierte Hauptkomponentenladungsmatrix

AmatCorRed <- rotMatCorRed %*% LambdaCorRed ^ (1 / 2)
AmatCorRed

##            [,1]
## [1,]  0.8575507
## [2,]  0.8735813
## [3,] -0.4895956

Dimensionsreduzierte F-Matrix

FmatCorRed <- Z %*% AmatCorRed %*% LambdaCorRedInv
dim(FmatCorRed)

## [1] 187   1

head(x = FmatCorRed)

##            [,1]
## [1,] -1.8362245
## [2,] -2.6100451
## [3,] -0.6264361
## [4,] -0.2097674
## [5,] -0.4219218
## [6,]  1.1094795

(1 / (nrow(FmatCorRed) - 1)) * t(FmatCorRed) %*% FmatCorRed

##      [,1]
## [1,]    1

11.3 Vergleich des trivariaten Beispieldatensatzes mit seiner dimensionsreduzierten Variante

11.3.1 Standardisierte Maßskala

Zapprox <- FmatCorRed %*% t(AmatCorRed)
colnames(Zapprox) <- c("height_std [1]", "mass_std [1]", "age_std [1]")

head(x = Z)

##      height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## [1,]     -1.9300562   -0.9889505   1.3740963
## [2,]     -2.5544936   -1.8466045   1.4974016
## [3,]     -0.8060688   -0.0997265   0.6342642
## [4,]     -0.0567439   -0.6627263  -0.5371365
## [5,]     -0.3065189   -1.2888663  -1.3386213
## [6,]      0.9423560    1.4998244   0.3876535

head(x = Zapprox)

##      height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## [1,]     -1.5746556   -1.6040913   0.8990074
## [2,]     -2.2382460   -2.2800865   1.2778665
## [3,]     -0.5372007   -0.5472428   0.3067003
## [4,]     -0.1798862   -0.1832489   0.1027012
## [5,]     -0.3618193   -0.3685830   0.2065711
## [6,]      0.9514349    0.9692205  -0.5431963

tail(x = Z)

##        height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## [182,]      1.3170185    0.4106565  -0.4754839
## [183,]     -0.6811813   -0.4469974  -0.2042121
## [184,]      0.5676935   -0.1839134   0.5109589
## [185,]      2.5658933    0.9683947  -0.8453999
## [186,]     -1.3056188   -1.4046233  -0.5987892
## [187,]      1.3170185    2.2732915  -1.2153159

tail(x = Zapprox)

##        height_std [1] mass_std [1] age_std [1]
## [182,]     0.84901854   0.86488963 -0.48472437
## [183,]    -0.43150557  -0.43957190  0.24635654
## [184,]     0.03749388   0.03819477 -0.02140612
## [185,]     1.70709764   1.73900920 -0.97462164
## [186,]    -1.01309268  -1.03203088  0.57839810
## [187,]     1.83046773   1.86468550 -1.04505648

11.3.2 Originalmaßskalen

Dies erfordert eine Rücktransformation (Destandardisierung) der Daten in Z auf die ursprünglich für die drei Variablen Körpergröße, Masse und Alter verwendeten Maßskalen:

b <- attr(x = Z , "scaled:scale")
a <- attr(x = Z , "scaled:center")
Xapp_int <-
  Zapprox * rep(b , each = nrow(Zapprox)) + rep(a , each = nrow(Zapprox))
XapproxCor <- data.frame(Xapp_int)
colnames(XapproxCor) <- c("height [cm]", "mass [kg]", "age [yr]")

head(x = X[, 1:3])

##   height [cm] mass [kg] age [yr]
## 1     139.700  36.48581       63
## 2     136.525  31.86484       65
## 3     145.415  41.27687       51
## 4     149.225  38.24348       32
## 5     147.955  34.86988       19
## 6     154.305  49.89512       47

head(x = XapproxCor)

##   height [cm] mass [kg] age [yr]
## 1    141.5071  33.17148 55.29411
## 2    138.1330  29.52927 61.43916
## 3    146.7821  38.86569 45.68695
## 4    148.5989  40.82686 42.37810
## 5    147.6738  39.82830 44.06286
## 6    154.3512  47.03627 31.90171

tail(x = X[, 1:3])

##     height [cm] mass [kg] age [yr]
## 182     156.210  44.02677     33.0
## 183     146.050  39.40581     37.4
## 184     152.400  40.82328     49.0
## 185     162.560  47.03182     27.0
## 186     142.875  34.24620     31.0
## 187     156.210  54.06250     21.0

tail(x = XapproxCor)

##     height [cm] mass [kg] age [yr]
## 182    153.8304  46.47414 32.85012
## 183    147.3195  39.44581 44.70818
## 184    149.7042  42.01998 40.36509
## 185    158.1934  51.18383 24.90404
## 186    144.3624  36.25369 50.09386
## 187    158.8207  51.86096 23.76159

11.4 Visualisieren der dimensionsreduzierten Daten per 3D-Streudiagramm

11.4.1 Standardisierte Maßskala

fig5 <- plot_ly(data = as.data.frame(Zapprox), type = "scatter3d", x = Zapprox[, 
    1], y = Zapprox[, 2], z = Zapprox[, 3], mode = "markers", size = 1) %>% layout(title = "Dimensionsreduzierte standardisierte Daten in Zapprox", 
    scene = list(xaxis = list(title = "Körpergröße std [1]"), yaxis = list(title = "Masse std [1]"), 
        zaxis = list(title = "Alter std [1]")))
fig5

11.4.2 Originalmaßskalen

fig6 <- plot_ly(data = as.data.frame(XapproxCor), type = "scatter3d", x = XapproxCor[, 
    1], y = XapproxCor[, 2], z = XapproxCor[, 3], mode = "markers", size = 1) %>% 
    layout(title = "Dimensionsreduzierte Daten in XapproxCor (Originalmaßskalen)", 
        scene = list(xaxis = list(title = "Körpergröße [cm]"), yaxis = list(title = "Masse [kg]"), 
            zaxis = list(title = "Alter [yr]")))
fig6

11.5 Visualisieren der dimensionsreduzierten Daten per Streudiagrammmatrix

11.5.1 Standardisierte Maßskala

ggpairs(data = as.data.frame(Zapprox))

11.5.2 Originalmaßskalen

ggpairs(data = XapproxCor)

Fazit: Im vorliegenden Beispiel führt die Dimensionsreduktion zu einem Extremfall; ein trivariater Datensatz wurde effektiv zu einem univariaten Datensatz reduziert, mit maximal (minimal) möglichen Werten für die bivariaten Korrelationen.

12 Literaturverzeichnis

M S Bartlett (1951) The effect of standardization on a chi square approximation in factor analysis Biometrika 38 337–344 DOI: https://doi.org/10.1093/biomet/38.3-4.337
I N Bronstein, K A Semedjajew, G Musiol und H Mühlig (2005) Taschenbuch der Mathematik 6. Aufl. (Frankfurt (Main): Harri Deutsch) ISBN–10: 3817120060
R B Cattell (1966) The scree test for the number of factors Multivariate Behavioral Research 1 629–637 DOI: https://doi.org/10.1207/s15327906mbr0102_10
H van Elst (2019) Foundations of descriptive and inferential statistics (version 4) Preprint http://arxiv.org/abs/1302.2525
L Guttman (1953) Image theory for the structure of quantitative variates Psychometrika 18 277–296 DOI: https://doi.org/10.1007/BF02289264
J F Hair jr, W C Black, B J Babin and R E Anderson (2010) Multivariate Data Analysis 7th Edition (Upper Saddle River, NJ: Pearson) ISBN–13: 9780135153093
R Hatzinger, K Hornik, H Nagel und M J Maier (2014) R — Einführung durch angewandte Statistik 2. Aufl. (München: Pearson Studium) ISBN–13: 9783868942507
H Hotelling (1933) Analysis of a complex of statistical variables into principal components Journal of Educational Psychology 24 417–441 DOI: https://doi.org/10.1037/h0071325
D N Joanes and C A Gill (1998) Comparing measures of sample skewness and kurtosis The Statistician 47 183–189 DOI: https://doi.org/10.1111/1467-9884.00122
I T Jolliffe (2002) Principal Component Analysis 2nd Edition (New York: Springer) ISBN–10: 0387954422
H F Kaiser (1960) The application of electronic computers to factor analysis Educational and Psychological Measurement 20 141–151 DOI: http://dx.doi.org/10.1177/001316446002000116
H F Kaiser (1970) A second generation little jiffy Psychometrika 35 401–415 DOI: https://doi.org/10.1007/BF02291817
K Pearson (1901) LIII. On lines and planes of closest fit to systems of points in space Philosophical Magazine Series 6 2 559–572 DOI: https://doi.org/10.1080/14786440109462720
H Toutenburg (2004) Deskriptive Statistik 4. Aufl. (Berlin: Springer) ISBN–10: 3540222332

Tutorium zur Hauptkomponentenanalyse

Henk van Elst

Sa, 14.11.2020

1 Einführung

2 Laden der benötigten R-Pakete

3 Laden des trivariaten Beispieldatensatzes (`X`-Matrix)

3.1 Visualisieren der Daten in `X` per 3D-Streudiagramm

3.2 Visualisieren der Daten in `X` per Streudiagrammmatrix

3.3 Beschreibende Statistik und Ausreißerbetrachtung für die Daten in `X`

4 Standardisieren des trivariaten Datensatzes (`Z`-Matrix)

4.1 Visualisieren der Daten in `Z` per 3D-Streudiagramm

4.2 Visualisieren der Daten in `Z` per Streudiagrammmatrix

4.3 Beschreibende Statistik und Ausreißerbetrachtung für die Daten in `Z`

5 Untersuchen der Eignung des trivariaten Datensatzes in `Z` für eine Hauptkomponentenanalyse

6 Berechnen der Korrelationsmatrix (`R`-Matrix) und ihrer Inversen

7 Eigenwerte und Eigenvektoren: Eigenorthonormalbasis der Korrelationsmatrix

8 Rotationsmatrix (`V`-Matrix), Eigenwertdiagonalmatrix (`Lambda`-Matrix) und inverse Eigenwertdiagonalmatrix

9 Hauptkomponentenladungsmatrix (`A`-Matrix)

10 Standardisierter Datensatz in der Eigenorthonormalbasis der Korrelationsmatrix (`F`-Matrix)

10.1 Konsistenztests für die `F`-Matrix:

10.2 Visualisieren der Daten in `F` per 3D-Streudiagramm

10.3 Visualisieren der Daten in `F` per Streudiagrammmatrix

11 Dimensionsreduktion: Extraktion der einzigen dominanten Hauptkomponente

11.1 Qualitatives Extraktionskriterium

11.2 Dimensionsreduzierte Matrizen

11.3 Vergleich des trivariaten Beispieldatensatzes mit seiner dimensionsreduzierten Variante

11.3.1 Standardisierte Maßskala

11.3.2 Originalmaßskalen

11.4 Visualisieren der dimensionsreduzierten Daten per 3D-Streudiagramm

11.4.1 Standardisierte Maßskala

11.4.2 Originalmaßskalen

11.5 Visualisieren der dimensionsreduzierten Daten per Streudiagrammmatrix

11.5.1 Standardisierte Maßskala

11.5.2 Originalmaßskalen

12 Literaturverzeichnis

Tutorium zur Hauptkomponentenanalyse

Henk van Elst

Sa, 14.11.2020

1 Einführung

2 Laden der benötigten R-Pakete

3 Laden des trivariaten Beispieldatensatzes (X-Matrix)

3.1 Visualisieren der Daten in X per 3D-Streudiagramm

3.2 Visualisieren der Daten in X per Streudiagrammmatrix

3.3 Beschreibende Statistik und Ausreißerbetrachtung für die Daten in X

4 Standardisieren des trivariaten Datensatzes (Z-Matrix)

4.1 Visualisieren der Daten in Z per 3D-Streudiagramm

4.2 Visualisieren der Daten in Z per Streudiagrammmatrix

4.3 Beschreibende Statistik und Ausreißerbetrachtung für die Daten in Z

5 Untersuchen der Eignung des trivariaten Datensatzes in Z für eine Hauptkomponentenanalyse

6 Berechnen der Korrelationsmatrix (R-Matrix) und ihrer Inversen

7 Eigenwerte und Eigenvektoren: Eigenorthonormalbasis der Korrelationsmatrix

8 Rotationsmatrix (V-Matrix), Eigenwertdiagonalmatrix (Lambda-Matrix) und inverse Eigenwertdiagonalmatrix

9 Hauptkomponentenladungsmatrix (A-Matrix)

10 Standardisierter Datensatz in der Eigenorthonormalbasis der Korrelationsmatrix (F-Matrix)

10.1 Konsistenztests für die F-Matrix:

10.2 Visualisieren der Daten in F per 3D-Streudiagramm

10.3 Visualisieren der Daten in F per Streudiagrammmatrix

11 Dimensionsreduktion: Extraktion der einzigen dominanten Hauptkomponente

11.1 Qualitatives Extraktionskriterium

11.2 Dimensionsreduzierte Matrizen

11.3 Vergleich des trivariaten Beispieldatensatzes mit seiner dimensionsreduzierten Variante

11.3.1 Standardisierte Maßskala

11.3.2 Originalmaßskalen

11.4 Visualisieren der dimensionsreduzierten Daten per 3D-Streudiagramm

11.4.1 Standardisierte Maßskala

11.4.2 Originalmaßskalen

11.5 Visualisieren der dimensionsreduzierten Daten per Streudiagrammmatrix

11.5.1 Standardisierte Maßskala

11.5.2 Originalmaßskalen

12 Literaturverzeichnis

3 Laden des trivariaten Beispieldatensatzes (`X`-Matrix)

3.1 Visualisieren der Daten in `X` per 3D-Streudiagramm

3.2 Visualisieren der Daten in `X` per Streudiagrammmatrix

3.3 Beschreibende Statistik und Ausreißerbetrachtung für die Daten in `X`

4 Standardisieren des trivariaten Datensatzes (`Z`-Matrix)

4.1 Visualisieren der Daten in `Z` per 3D-Streudiagramm

4.2 Visualisieren der Daten in `Z` per Streudiagrammmatrix

4.3 Beschreibende Statistik und Ausreißerbetrachtung für die Daten in `Z`

5 Untersuchen der Eignung des trivariaten Datensatzes in `Z` für eine Hauptkomponentenanalyse

6 Berechnen der Korrelationsmatrix (`R`-Matrix) und ihrer Inversen

8 Rotationsmatrix (`V`-Matrix), Eigenwertdiagonalmatrix (`Lambda`-Matrix) und inverse Eigenwertdiagonalmatrix

9 Hauptkomponentenladungsmatrix (`A`-Matrix)

10 Standardisierter Datensatz in der Eigenorthonormalbasis der Korrelationsmatrix (`F`-Matrix)

10.1 Konsistenztests für die `F`-Matrix:

10.2 Visualisieren der Daten in `F` per 3D-Streudiagramm

10.3 Visualisieren der Daten in `F` per Streudiagrammmatrix